Matematiğin önemli bir kolu olarak Geometri, insanoğlunun doğayı nasıl algıladığı ile yakından ilişkilidir. Algılama biçimleri geliştikçe, daha ileri geometrik yaklaşımlar ortaya konmuştur. Bir mağara duvarına çizilen resimler bile belli bir Geometrik yaklaşımı yansıtmaktadır. Diğer bir deyişle mağara duvarına resim yapan kişi, örneğin bir boğayı en azından belli bir oranda küçülterek çizmesi gerektiğini bilmektedir.
Yerleşik hayata geçilmesiyle geometrinin önemi ve geometriye duyulan gereksinim daha da artmıştır. Tarihte Mısırlılar ve Babilliler geometriye önemli katkılar yapmışlardır. Eski Mısır'da Nil Nehri'nde meydana gelen periyodik taşkınlar tarla sınırlarını ortadan kaldırıyordu. Durum normale döndükten sonra tarla sınırlarının yeniden belirlenmesi gerekmekteydi. Mısırlılar bu sorunun üstesinden geometri bilgisini kullanarak gelmeyi başardı. Diğer taraftan Mısır matematiğine ilişkin araştırmalar, Mısırlılar'ın hem küre yüzeyini hem de kesik piramidin hacmini bildiklerini göstermektedir. Babilliler ise arazi ölçümü yapabiliyor ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu.
Euclides Geometrisi'nin Pabucu Dama mı Atılıyor?
Euclides Geometrisi, 2000 yıldan fazla bir zamandır hakimiyetini sürdürmektedir. Bu klasik geometri anlayışında doğada karşımıza çıkan şekiller; doğrular ve düzlemler, daireler ve küreler, üçgenler ve koniklerden ibarettir. Bu şekiller, gerçeğin güçlü bir soyutlamasından ibarettir. Doğada var olan karmaşık yapıyı anlamak ve modelleyebilmek için yukarıda bahsedilen soyut şekillerin yeterli olmadığı artık bilinen bir gerçektir.
Yakından incelendiğinde doğadaki nesnelerin Euclides geometrisindeki şekillere hiç benzemediği görülecektir. Tam küre şeklinde olan bir tane bile elma ya da bulut bulunamaz ya da tam koni şeklinde olan bir dağ hiçbir zaman yeryüzünde olmadı. Benzer şekilde doğada gövdesi silindir şeklinde olan bir ağaca, bir hat boyunca ilerleyen yıldırıma ya da tepsi gibi düz bir ovaya rastlanamaz. Özetle, doğayı daha iyi anlayabilmek ve modelleyebilmek için yeni bir geometriye gereksinim vardır.
Fraktal Geometri Yeni Kapılar Açıyor
Yukarıda sözü edilen yeni geometrinin adı "Fraktal Geometri"dir. Bu isim Fransız bilimadamı Benoit Mandelbrot tarafından verilmiştir. "Fraktal" kelimesi Latince "fraktus (kırık taş)" kelimesinden türetilmiştir. Fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak ya da düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş, düğümlenmiş vb. şekillerden oluşan bir evrendir. Bu evren Euclid geometrisinin tasvir ettiği türden sıkıcı ve tekdüze bir evren değildir; tersine gözlemciye her ölçekte ayrı bir dünyanın kapılarını aralar. Fraktal bir nesneye bakan gözlemci, matematikteki "Sonsuz" kavramının nasıl somuta dönüştüğüne tanık olur.
Türkiye Sahillerinin Uzunluğu Tam Olarak Ölçülebilir mi?
Fraktal bir şeklin neye benzediğini daha iyi anlayabilmek için Mandelbrot'un İngiltere sahilleri için sorduğu soruyu biz Türkiye sahilleri için sorarak başlayalım: "Türkiye sahillerinin toplam uzunluğu nedir?" Mandelbrot'un iddiasına göre, her sahil bir bakıma sonsuz uzunluktadır. Diğer bir deyişle, sorunun cevabı, kullanılan cetvelin uzunluğuna bağlıdır. Örneğin, açıklığı bir metre olan bir pergel ile Türkiye sahillerinin uzunluğu ölçüldüğünde, bulunan değer yaklaşık bir tahminden ibaret olacaktır. Çünkü pergel bir metrenin altındaki girinti ve çıkıntıların üzerinden atlayacaktır. Pergel açıklığı yarım metreye indiğinde, bu uzunluk ölçeğindeki ayrıntılar da hesaba katılmış olacaktır. Dolayısı ile daha hassas bir ölçüm için her seferinde pergel açıklığını biraz daha küçültmemiz gerekecektir. Sonuçta bulmuş olduğumuz sahil uzunluğu, kullanılan uzunluk ölçeğine bağlı olacaktır. Örneğin bir uydudan ölçülen Türkiye sahillerinin uzunluğu, bütün koyları ve burunları adımlayarak ölçüm yapan bir gözlemcinin bulduğu uzunluktan daha küçük bir değer olacaktır.
Eğer sahil Euclides geometrisindeki şekillerden birine örneğin, bir daireye benzeseydi, gittikçe küçülen pergel açıklıklarıyla yapılan ölçümler sonuçta belli bir değere yakınsardı. Ancak Fraktal yaklaşıma göre, ölçek küçüldükçe bulunan sahil uzunluğu sürekli olarak artacak; körfez ve yarımadalardan daha küçük körfezcikler ve yarımadacıklar ortaya çıkacak ve bu işlem ancak atom boyutuna ulaşıldıktan sonra sona erecektir, çünkü sahillerin yapısında Fraktallik mevcuttur.